数学 Ⅲ¶
1. 分数関数¶
- 基本形
\[
y = \frac{k}{x-p} + q
\]
- 派生形
\[
y = \frac{ax+b}{bx+d}
\]
- ex) 分子(2x+1)を分母(x+1)で割ると、2 余り 1
\[
y = \frac{2x+1}{x+1} = \frac{2(2x+1)-1}{x+1} = \frac{2(x+1)}{x+1} - \frac{-1}{x+1} = 2 - \frac{-1}{x+1}
\]
2. 極限¶
3. 微分¶
3.1. 導関数¶
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
\[
(x^{n})' = nx^{n-1}
\]
\[
\{k{f(x)'}\} = kf'(x)
\]
\[
\{{f(x)'} + g(x)'\} = f'(x) + g'(x)
\]
\[
\{k{f(x)'} + lg(x)'\} = kf'(x) + lg'(x)
\]
- 積の微分法(積の導関数)
\[
\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
\]
ex)
\[
y = (2x)(3x)
\]
\[
y' = 2 \times (3x) + (2x)\times 3
\]
- 商の微分法(商の導関数)
\[
\{\frac{f(x)}{g(x)}\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)^{2}\}}
\]
- 分子が 1 の場合、以下の公式が使える
※マイナスがつくことに注意
\[
\{\frac{1}{g(x)}\}' = \color{red}-\color{black} \frac{g(x)'}{\{g(x)^{2}\}}
\]
- ex)
\[
\{\frac{1}{2x+3}\}' = - \frac{2}{(2x+3)^{2}}
\]
3.2. 合成関数¶
- xx
\[
\{\frac{f(x)}{g(x)}\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)^{2}\}}
\]
- ex)
$$ y=(x^{3})^{2}
$$
\[
y'=((x^{3})^{2})' \times (x^{3})' = 2(x^{3}) \times (3x^{2})
\]
3.3. 逆関数の導関数¶
- 公式
\[
(x^{r})' = rx^{r-1}
\]
- ex)
\[
y = \sqrt[5]{x^{2}}
\]
\[
y' = x^{\frac{2}{5} - 1} = \frac{2}{5} \times x^{- \frac{3}{5}} = \frac{2}{5 \sqrt[5]{x^{3}}}
\]
3.4. 三角関数の導関数¶
- sin の微分
\[
(\sin{x})' = \cos{x}
\]
- cos の微分
\[
(\cos{x})' = -\sin{x}
\]
- tan の微分
\[
(\tan{x})' = \frac{1}{\cos{x}^{2}}
\]
- tan の微分
\[
(\frac{1}{\tan{x}})' = - \frac{1}{\sin{x}^{2}}
\]
- ex) 合成関数の公式と三角関数の公式を組み合わせる
\[
y = \sin^{2}{x}
\]
\[
u = \sin{x} , y = (u)^2
\]
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = (u^2)' \times (\sin{x})' = 2u \times \cos{x} = 2(sin{x}) \times \cos{x} = 2\sin{x}\cos{x}
\]
3.5. 対数関数の導関数¶
- 底が e の場合
\[
(\log{x})' = \frac{1}{x}
\]
- 底が e以外の場合
\[
(\log_{a}{x})' = \frac{1}{xlog{a}}
\]
- 底が e の場合で、絶対値有り
\[
(\log{|x|})' = \frac{1}{x}
\]
- 底が e以外の場合で、絶対値有り
\[
(\log_{a}{|x|})' = \frac{1}{xlog{a}}
\]
3.6. 指数関数の導関数¶
- 基数が e の場合
\[
(e^{x})' = e^{x}
\]
- 基数が e以外の場合
\[
(a^{x})' = a^{x} \times \log{a}
\]
- ex 合成関数を組み合わせる
\[
y' = (e^{-x^{2}})' = e^{-x^{2}} \times (-x^{2})' = -2xe^{-x^{2}}
\]
4. 積分¶
4.1. 不定積分¶
- a != 1 のとき
\[
\int x^{a} dx = \frac{1}{a+1} \cdot x^{a+1} + C
\]
- a = -1
\[
\int \frac{1}{x} dx = \log |x| + C
\]
- ex
\[
\int \frac{1}{x^{4}} dx = (x^{-4}) dx = \frac{1}{-4+1} \cdot x^{-4+1} = - \frac{1}{3x^{3}} + C
\]
4.2. 三角関数の不定積分¶
\[
\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C
\]
\[
\int \cos{x} dx = \sin{x} + C
\]
\[
\int \frac{1}{\cos^{2}{x} } dx = \tan{x} + C
\]
\[
\int \frac{1}{\sin^{2}{x} } dx = - \frac{1}{\tan{x}} + C
\]
4.3. 指数関数の不定積分¶
\[
\int e^{x}dx = e^{x} + C
\]
\[
\int a^{x}dx = \frac{a^{x}}{log{a}} + C
\]
4.4. 対数関数の不定積分¶
\[
\int log{x}dx = \int 1 \times log{x}dx = xlogx - x + c
\]
4.5. 三角関数の不定積分¶
\[
\sin{x} \cos{x} = \frac{sin2x}{1}
\]
\[
\sin^{2}{x} = \frac{1 - cos2x}{2}
\]
\[
\cos^{2}{x} = \frac{1 + cos2x}{2}
\]
\[
\sin{\alpha} \cos{\beta} = \frac{1}{2}(\sin{\alpha + \beta} + \sin{\alpha - \beta})
\]
\[
\cos{\alpha} \sin{\beta} = \frac{1}{2}(\sin{\alpha + \beta} - \sin{\alpha - \beta})
\]
4.6. 回転体の体積¶
4.6.1. 回転体の体積¶
平面の体積を求めて、積分すると体積が求まる
\[
V=\int^b_aS(x)dx
\]
4.6.2. ex(半径 3,高さ 5 の円錐の体積)¶
- 中学の辺と面積の相似比
\[
x : y = x^2 : y^2
\]
- 今回の問題に当てはめると、高さの比を相似で使う
\[
S(x) : S(5) = x^2 : 5^2
\]
↓
\[
S(x) : \pi (3)^2 = x^2 : 5^2
\]
↓
\[
S(x) = \frac{9 \pi x^2}{25}
\]
- 面積を積分すると
\[
V = \int^5_0 (\frac{9 \pi x^2}{25}) dx
\]
4.7. 4.6.曲線の長さ¶
4.7.1. y=f(x)の曲線の長さ¶
x,y を微分して三平方の定理で長さを求める。
それを積分することで求まる
\[
L = \int^b_a \sqrt(1+(f(x)')^2)dx
\]